FPB (Faktor Persekutuan Terbesar)

FPB

a.       Mencari FPB dengan Faktor Persekutuan

Faktor persekutuan adalah faktor yang sama dari dua bilangan atau lebih.
FPB adalah nilai paling besar dari faktor persekutuan dua bilangan atau lebih itu .

Contoh: cari FPB dari 4 dan 8 dan 12

Faktor dari 4 adalah = {1, 2, 4}
Faktor dari 8 adalah = {1, 2, 4, 8}
Faktor 12 adalah= {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Faktor persekutuannya adalah 1, 2, 4
Nilai yang terbesar adalah 4, sehingga FPBnya adalah 4

b.      Mencari FPB dengan Faktorisasi Prima

–  ambil bilangan faktor yang sama dan ambil ysng terkecil dari 2 atau lebih bilangan

Contoh: cari FPB dari 4, 8 dan 12

buat pohon faktornya

Faktor Prima =                      2×2 = 2²                        2x2x2 = 2³                       2x 2 x 3 =2² x 3

faktor dari 4, 8 dan 12 yang sama adalah 2, dan  yang terkecil adalah 2² = 4
Jadi FPB dari 4, 8 dan 12 adalah 4

Contoh soal cerita:

Bu Aminah mempunyai 20 jeruk dan 30 salak, jeruk dan salak akan dimasukkan ke dalam plastik dengan jumlah yang sama.
a. Berapa plastik yang diperlukan?
b. Berapa banyak jeruk dan salak pada masing-masing plastik?

Jawab:

Faktorisasi prima dari 20 = 2² x 5
Faktorisasi prima dari 30 = 2 x 3 x 5

FPB dari 20 dan 30 = 2 x 5 = 10 ( kalikan faktor yang sama, apabila sama ambil yang terkecil)

a. Jumlah plastik yang diperlukan = 10 plastik
b. Jumlah jeruk pada setiap plastik = 20/10 = 2 jeruk
Jumlah salak pada setiap plastik = 30/10 = 3 salak

KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil)

KPK

a.       Mencari KPK dengan Kelipatan Persekutuan
Kelipatan persekutuan adalah kelipatan yang sama dari dua bilangan atau lebih .
KPK adalah nilai terkecil dari kelipatan persekutuan 2 atau lebih bilangan.
Contoh: cari KPK dari 4 dan 8

Kelipatan 4 adalah = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ….}
Kelipatan 8 adalah = {8, 16, 24. 32. 40, 48, 56, …}

Kelipatan persekutuannya adalah 8, 16, 24, 32, …    ( kelipatan yang sama dari 4 dan 8)
Nilai yang terkecil adalah 8, sehingga KPKnya adalah 8

b.      Mencari KPK dengan Faktorisasi Prima

– semua bilangan faktor dikalikan
-apabila ada yang sama ambil yang terbesar, apabila keduanya sama ambil salah satunya

Contoh: cari KPK dari 8, 12 dan 30

buat pohon faktornya

                           Faktor Prima =        2x2x2 = 2³               2x2x3 = 2² x 3                      2 x 3 x 5

faktor 2 yang terbesar adalah 2³
faktor 3 nilainya sama untuk 12 dan 30 ambil salah satunya saja yaitu 3
faktor 5 ada 1 ambil nilai 5

sehingga KPKnya adalah 2³ x 3 x 5 = 120

Contoh soal cerita:

Ali Berenang 10 hari sekali, Budi berenang 15 hari sekali, sedangkan Amir berenang 20 hari sekali.
Ketiga-tiganya sama-sama berenang petamakali pada tanggal 20 februari 2012, kapan ketiga-tiganya sama-sama berenang untuk yang keduakalinya?

Jawab:

Faktorisasi prima dari 10 = 2 x 5
Faktorisasi prima dari 15 = 3 x 5
Faktorisasi prima dari 20 = 2² x 5

KPK dari 10, 15 dan 20 = 2² x 3  x 5 = 60 (kalikan semua faktor, faktor yang sama ambil yang terbesar)
Jadi mereka sama-sama berenang setiap 60 hari sekali.
Mereka sama-sama berenang untuk yang keduakalinya adalah 20 februari 2012 + 60 hari = 20 April 2012

• Ingat bulan februari untuk tahun kabisat adalah 29 hari, untuk tahun bukan kabisat = 28 hari
  (2012 adalah tahun kabisat karena habis dibagi dengan 4)

Skala

Materi kali ini masih tentang Matematika, dimana kita akan berfokus pada indikator Skala. Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai permasalahan yang berkaitan dengan skala, baik itu secara langsung kita sadari maupun yang tidak kita sadari.

 

Rumus Skala

 

 

Skala 1 : 100.000 yaitu 1 cm merupakan angka perwakilan dari 100.000 cm dalam jarak yang sebenarnya. 100.000 cm sama dengan 1 km. Contoh soal :

 

Jarak kota Bandar Lampung dengan Palembang pada peta adalah 7 cm. Ketika skala di peta menunjukkan angka 1 : 1.750.000, maka jarak yang sebenarnya antara kedua kota tersebut adalah :

 

 

1 x jarak sebenarnya = 7 x 1.750.000 cm

Jarak sebenarnya = 12.250.000 cm

Jarak sebenarnya = 122,5 km

Perbandingan

Materi kali ini masih tentang Matematika, dimana kita akan berfokus pada indikator Perbandingan. Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai permasalahan yang berkaitan dengan perbandingan, baik itu secara langsung kita sadari maupun yang tidak kita sadari.

 

Perbadingan Umur

Contoh soal 1:

Perbadingan umur ayah dan Andi adalah 5:2. Jika jumlah umur mereka adalah 56 tahun, berapakah umur mereka masing-masing?

Jawab:

Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita seharusnya membuat perbandingan seperti di bawah ini:

Ayah : Andi : Selisih : Jumlah

  5    :   2    :    3      :    7

  ?    :   ?    :     ?      :   56

Perhatikan bahwa selain menuliskan perbandingan Ayah dan Andi, kita juga seharusnya (lebih baik) membuat menentukan perbandingan selish dan jumlah karena sangat berguna untuk memecahkan masalah-masalah yang berkaitan dengan perbandingan.

INGAT: Selisih adalah mengurangkan data yang besar dengan yang kecil.

Perbandingan Selisih didapat dari 5 (ayah) – 2 (andi) = 3 (selisih)

Lalu jumlah perbandingan didapat dari 5 (ayah) + 2 (Andi) = 7 (jumlah)

Selanjutnya kita menentukan umur Ayah dan umur Andi:

Umur Ayah = 5/7 x 56 = 40 Tahun

Umur Andi = 2/7 x 56 = 16 Tahun

Jadi, umur ayah adalah 40 tahun dan umur Andi adalah 16 tahun.

Contoh soal 2:
Perbadingan umur nenek dan Ibu adalah 7:4. Jika selisih umur mereka adalah 27 tahun, maka tentukan:

a. Berapa umur ibu?
b. Berapa umur nenek?
c. Jumlah umur nenek dan ibu?

Jawab:

Nenek : Ibu : Selisih : Jumlah

  7     :   4    :    3       :    11

  ?     :   ?     :     27    :     ?

Karena yang diketahui adalah selisih umur mereka, maka:

a. Umur Ibu = perbandingan umur ibu : perbandingan selisih x selish umur

                   = 4/3 x 27 = 36 tahun

b. Umur nenek = 7/3 x 27 = 63 tahun

c. Jumlah umur mereka = 11/3 x 27 = 99 tahun

 Perbandingan Suhu

Ada beberapa satuan suhu yang dikenal, diantaranya adalah Kelvin (K) yang merupakan Satuan Baku Internasional, Celcius (C), Reamur (R) dan Fahrenheit (F). Namun yang umum digunakan di Indonesia adalah derajat celcius (C). Selain itu ada juga satuan suhu Rankine, Delisle, Newton dan Romer (keempat satuan suhu ini belum dikenal oleh penulis dengan baik).

Perbandingan Suhu:

C  :  R  :        F       :         K

5  :  4  : 9 (-/+ 32)   : 5 (-/+ 273)

Contoh Soal:

40 R = …… C= …… F = ……K

jawab:

Celcius = 5/4 x 40 = 50 C

Fahrenheit = 9/4 x 40 (+32) = 90 + 32 = 122 F

Kelvin =  5/4 x 40 (+273) = 50 + 273 = 323 K

Untuk lebih jelasnya perhatikan langkah singkat berikut ini:

A. Rumus merubah Celcius ke Kelvin = Derajat Celcius + 273,15

B. Rumus merubah Celcius ke Reamur = Derajat Celcius x 0,8

C. Rumus merubah Reamur ke Celcius = Derajat Reamur x 1,25

D. Rumus merubah Celcius ke Fahrenheit = (Derajat Celcius x 1,8) + 32

E. Rumus merubah Fahrenheit ke Celcius = (Derajat Fahrenheit – 32) / 1,8

F. Rumus merubah Reamur ke Farenheit = (Reamur x 2,25) + 32

Lalu, yang patut diperhatikan di sini adalah rentang titik rendah dan tinggi pada termometer suhu:

Pada termometer jenis celcius mempunyai titik beku 0°c, titik didih 100° dan jumlah skala adalah 100 skala.

Pada termometer jenis reamur mempunyai titik beku 0°c, titik didih 80°c, dan jumlah skala adalah 80 skala.

Pada termometer jenis fahrenheit mempunyai titik beku 32°c, titik didih 212°c, dan jumlah skala adalah 180 skala.

Pada termometer jenis kelvin mempunyai titik beku 273°c, titik didih 373°c, dan jumlah skala adalah 100 skala.

Bangun Ruang

Rumus Matematika Pada Bangun Ruang

                  Ilmu matematika tidak pernah lepas dari rumus-rumus matematika mengenai bangun ruang seperti kubus, balok (prisma), limas, tabung, kerucut, dan bola. Pada posting ini dituliskan tentang rumus bangun ruang yang ada di dalam pelajaran matematika seperti rumus kubus, rumus balok (prisma), rumus limas, rumus tabung, rumus kerucut, dan rumus bola. Bangun ruang berbeda dengan bangun datar didalam menentukan rumusnya, tergantung dari bentuk bangun masing-masing. Secara umum bentuk dari bangun ruang seperti kubus dkk adalah 3 dimensi yang mempunyai isi atau volume berbeda dengan bangun datar yang hanya 2 dimensi.

Rumus Bangun Ruang Kubus

Rumus:

Luas salah satu sisi = rusuk x rusuk
Luas Permukaan Kubus = 6 x rusuk x rusuk
Keliling Kubus = 12 x rusuk
Volume Kubus = rusuk x rusuk x rusuk

Rumus Bangun Ruang Balok (Prisma)

 

Rumus:

Luas Permukaan Balok = 2 x {(pxl) + (pxt) + (lxt)}
Diagonal Ruang = Akar dari (p kuadrat + l kuadrat + t kuadrat)
Keliling Balok = 4 x (p + l + t)
Volume Balok = p x l x t (sama dengan kubus, tapi semua rusuk kubus sama panjang).

Rumus Bangun Ruang Limas

 

Rumus:

Volume = 1/3 luas alas tinggi sisi
Luas = luas alas + jumlah luas sisi tegak

Rumus Bangun Ruang Tabung

 

Rumus:

Volume = luas alas x tinggi, atau
luas lingkaran x t
Luas = luas alas + luas tutup + luas selimut, atau
( 2 x π x r x r) + π x d x t)

Rumus Bangun Ruang Kerucut

 

Rumus:

Volume = 1/3 x π x r x r x t
Luas = luas alas + luas selimut

Rumus Bangun Ruang Bola

 

Rumus:

Luas Bola = 4 x π x jari-jari x jari-jari, atau
4 x π x r2
Volume Bola = 4/3 x π x jari-jari x jari-jari x jari-jari
π  = 3,14 atau 22/7

Pecahan

Mengurutkan Pecahan

Mengurutkan Pecahan dengan Garis Bilangan

Apabila kita diberikan dua pecahan, misalkan 2/3 dan 8/11, apakah kamu dapat membandingkan kedua pecahan tersebut? Pecahan mana yang lebih besar? Sebelumnya, mari kita selesaikan permasalah tersebut dengan sebuah perumpamaan. Dua pertiga sama dengan dua bagian roti apabila kita membaginya menjadi 3 bagian yang sama besar. Demikian juga dengan 8/11 sama dengan 8 bagian roti apabila kita membaginya menjadi 11 bagian yang sama besar. Perhatikan gambar yang merepresentasikan kedua pecahan tersebut.

Dengan bantuan gambar di atas, kita dapat melihat dengan mudah bahwa 8/11 lebih besar dari 2/3, atau dapat dituliskan 8/11 > 2/3. Sekarang mari kita lihat posisi kedua pecahan tersebut pada garis bilangan.

Dari garis bilangan tersebut, kita dapat memperoleh bahwa 8/11 berada di kanan 2/3. Hal ini merupakan bukti lain bahwa 8/11 lebih besar dari 2/3.

Mengurutkan Pecahan dengan Menyamakan Penyebut

Membandingkan pecahan dapat dilakukan dengan menyamakan penyebutnya. Penyebut dari pecahan-pecahan yang belum sama, dapat disamakan dengan menggantinya dengan faktor persekutuan penyebut pecahan-pecahan tersebut.

Misalkan kita akan membandingkan dua pecahan sebelumnya, yaitu 8/11 dan 2/3. Faktor persekutuan dari 11 dan 3 di antaranya adalah 33, 66, 99, dan 132. Kita ambil saja faktor persekutuan yang terkecil, atau disebut KPK, yaitu 33. Sehingga,

Karena 24 bagian dari 33 lebih besar daripada 22 bagian dari 33, maka

Setelah dapat membandingkan dua pecahan, sekarang kita akan berlatih untuk mengurutkan beberapa pecahan. Misalkan diberikan pecahan-pecahan 1/3, 2/5, 4/15, 5/12, dan 5/6. Dapatkah kamu mengurutkan pecahan-pecahan tersebut dari yang terkecil ke terbesar?

Sebelum mengurutkan pecahan-pecahan tersebut, kita harus membandingkan pecahan-pecahan tersebut dengan menyamakan penyebutnya. KPK dari 3, 5, 15, 12, dan 6 adalah 60. Sehingga,

Setelah menyamakan penyebut-penyebutnya, kita tentu mudah untuk mengurutkannya.

Urutan pecahan-pecahan dari yang terkecil ke terbesar adalah,

Setelah menyamakan penyebut-penyebutnya, kita tentu mudah untuk mengurutkannya.

Urutan pecahan-pecahan dari yang terkecil ke terbesar adalah,

Untuk mengurutkan pecahan dengan menyamakan penyebutnya terlebih dahulu, apa yang perlu diperhatikan?

Apabila dua pecahan memiliki penyebut yang sama, pecahan yang memiliki pembilang yang lebih besar, nilainya lebih besar daripada pecahan yang pembilangnya lebih kecil.

Agar kalian lebih memahaminya, perhatikan gambar berikut!

Model Soal Materi Perbandingan

Model Soal Perbandingan

1.  Jarak peta 3 cm. Jarak sebenarnya adalah 45 km. Skala pada peta adalah  . . . .

a. 1: 135.000                     b. 1:1.350.000

c. 1:150.000                      d. 1:1500.000

2.  Jika pada peta panjang garisnya 15 cm dan skala pada peta 1:1.800.000, maka panjang jalan sesungguhnya adalah . . .  .

a. 27.000.000 km       b.15.000.000 km

c. 250 km                         d. 270 km

3.  Luas sawah pak Rudi 4.500m². Sedangkan luas ladangnya 1.500m². Perbandingan luas sawah dan lading Pak Rudi adalah  . . . .

a. 3:1         b. 2:3       c. 4:3    d. 1:2

4.  Perbandingan umur tante Rina dengan tante Ani adalah  5:3. Jumlah umur meraka 64 th. Umur tante Rina dan tante Ani secara berurutan adalah . . . . tahun

a. 40 dan 24                      b. 45 dan 27

c. 40 dan 27                      d. 50 dan 14

5.  Dhani memiliki komik sebanyak 12 buah. Agus memiliki komik sebanyak 48 buah. Perbandingan jumlah komik yang dimiliki Dhani dan Agus adalah  . . .  .

a. 1:2         b. 1:3      c.1:4      d. 1:5

6.  Uang Andi = Rp 15.000,-

Uang Budi = Rp 18.000,-

Perbandingan uang Budi dengan jumlah uang mereka adalah  . . . .

a.   6:11                 b. 11:6

c.   5:6                   d.   6:5

7.  Jarak kota A dan kota B pada peta adalah 5,2cm. Jika skalanya 1:1.250.000 maka jarak sesungguhnya kedua kota itu adalah……km

a. 61       b. 63       c.65         d. 68

8.  Banyak siswa kelas V Sd Melati adalah 40 orang, 24 orang diantaranya perempuan. Perbandingan banyak siswa laki-laki terhadap seluruh siswa adalah  . . .

a. 5 : 2      b. 3:5    c. 2 : 5    d. 2:3

9.  Jumlah Lego Dhanu 80 dan lego Redho lego Dhanu. Berapa perbandingan lego Dhanu dan Redho?

a.  5: 8       b. 8:5      c. 8:1            d. 5:1

10.  Jumlah kelereng Ardi 50 butir, jika rasio kelereng Ardi dan Arman adalah 2:3. Maka kelereng arman adalah  . . .  butir.

a. 55          b. 65    c. 75      d. 85

soal untuk no 11 dan 12

Umur kakek sekarang 80 tahun, sedangkan umur nenek 8 tahun lebih muda di bandingkan umur kakek

11.  Umur nenek sekarang adalah … tahun.

a. 88          b. 85      c. 72     d. 27

12.  Perbandingan umur kakek dan nenek adalah . . . .

a. 8:10       b. 1:8

c. 10:9       d. 9:10

13.  Kelereng Andi dibanding kelereng Beni adalah 1: 3, sedangkan kelereng Cahya dibanding kelereng Andi adalah 1: 4. Jika jumlah kelereng ketiga anak tersebut 34 butir, maka kelereng Cahya adalah…

a.   2          b.    3.     c.    4        d.    5

14.  Jarak kota Surabaya dan Rembang yang sebenarnya adalah 150 km. Pada peta jaraknya 7,5 cm . Skala peta tersebut adalah  . . . .

a. 1: 2.000                  b. 1: 20.000

c. 1: 200.000             d. 1.2.000.000

15.  Jarak kota A dan B pada peta adalah 6 cm.Skala peta adalah 1:1.500.00. jarak sebenarnya antara dua kota tersebut adalah .

a. 9                        b. 90       c. 900           d 9.000

Perbandingan

Perbandingan dalam matematika ialah proses membandingkan atau menghubung kan banyak suatu benda yang mempunyai rasio yang sama. Secara garis besar, perbandingan jumlah benda ini dikelompokkan dalam 3 jenis yaitu perbandingan yang diketahui jumlah keseluruhan benda yang diperbandingkan, perbandingan dengan diketahui selisih benda yang diperbandingkan dan ketiga adalah perbandingan dengan mengetahui jumlah benda yang diperbandingkan. Untuk lebih jelasnya kita akan berikan contoh soal dan pembahasannya.

 

Contoh soal :

1. Perbandingan ayam dan bebek di kandang adalah 3 : 4. Jumlah bebek dan ayam di kandang adalah 35 ekor. Berapa jumlah ayam di kandang tersebut? Berapa juga jumlah bebeknya? Berapa selisih ayam dan bebek di kandang?

 

Penyelesaian:

Pada soal di atas terdapat kata “jumlah” maka pembagi perbandingan nanti adalah jumlah dari angka perbandingan sehingga

Jumlah ayam = 3/7  X  35 = 15 ekor ayam.

Jumlah bebek = 4/7 X 35 = 20 ekor bebek.

Maka selisih ayam dan bebek adalah 20 – 15 = 5 ekor.

 

Coba perhatikan!

Angka 7 pada 3/7 dan 4/7 adalah jumlah dari angka perbandingan 3 dan 4. Angka 35 adalah jumlah ayam dan bebek.

 

2. Perbandingan sapi dan kerbau pak tani adalah 2 : 5. Selisih jumlah sapi dan kerbau pak tani adalah 12 ekor. Berapa jumlah sapi pak tani? Berapa jumlah kerbau pak tani? dan berapa jumlah sapi dan kerbau pak tani?

 

Penyelesaian :

Coba perhatikan soal nomer 2 di atas. Terdapat kata “selisih” maka pembagi angka perbandingannya adalah selisih dari angka perbandingannya. Sehingga :

 

Jumlah sapi = 2/3 X 12 = 8 ekor.

Julmlah kerbau = 5/3 X 12 = 20 ekor.

maka jumlah sapi dan kerbau pak tani adalah 8 + 20 = 28 ekor.

 

Coba perhatikan angka 3 pada 2/3 dan 5/3, itu adalah selisih dari angka perbandingan dari sapi dan kerbau yaitu 5 – 2 = 3. Angka 12 adalah selisih dari sapi dan kerbau.

 

3. Perbandingan pohon apel dan mangga di kebun adalah 4 : 5. Jumlah pohon apel adalah 16 pohon. Berapa jumlah pohon mangga di kebin tersebut?

 

Penyelesaian :

 

Jumlah pohon mangga = 5/4 X 16 = 20 pohon.

 

Coba perhatikan angka 5 yang merupakan angka perbandingan mangga ditaruh di pembilang, sedangkan 4 yang merupakan angka perbandingan pohon apel ditaruh di penyebut. Sedagkan 16 adalah jumlah pohon apel.

 

Kalau ditelaah lebih lanjut, maka angka persamaan di atas berasal dari perbandingan :

 

4 : 5 = 16 : M

maka :

4 X M = 5 X 16

M = (5 X 16) / 4  atau 4/5 X 16

M = 20 pohon.

 

Terakhir, bila masih belum jelas, silahkan bertanya di kolom komentar di bawah ini.

 

Model Soal Olimpiade Tingkat SMA

klik di bawah untuk download

Model Soal Olimpiade Tingkat SMP

klik di bawah untuk download